رَأينَا فِي الجُزءِ السَّابِقِ مِن هَذا المَقالِ أنَّ للفيزياءِ مَبدَأً لِلعَجزِ يُتيحُ رَفعَ الفَشَلِ المُستَمِرِّ عَن إدرَاكِ هَدَفٍ مُعَيَّنٍ مِنَ التَّجَارُبِ العَمَلِيَّةِ – ولِيَكُن مَثَلاً التَّبريدُ لدَرجاتٍ أقلَّ مِن دَرَجَةِ سَالِبِ 273 -إلى مَرتَبَةِ القَانُونِ الطبيعيِّ أَيِ التَّسليمِ باستِحالةِ الوصولِ لِهذَا الهَدَفِ وبِناءِ قَوانينِ الفيزياءِ عَلَى هَذِهِ الاستِحَالَة.
ومَعَ أنَّ هَذَا التَّسليمَ يَجعلُ أسَاسَ الفِيزياءِ مُعتَمِداً عَلى مُسَلَّمَاتٍ غَيرِ ثَابِتَةٍ ومُستَنبَطَةٍ بالاستِقراءِ النَّاقِصِ فَقَط إلَّا أنَّ وجودَ مَجالٍ مَفتوحٍ للتَجرُبَةِ المُستَمِرَّةِ يَجعَلُنَا قَادرينَ عَلى تَعديلِ المُسلماتِ حَالَمَا أَتَتْ التَّجارُبُ بِمَا يُناقِضُها وهوَ مايُوافِقُ الطَّريقةَ العِلمِيَّةَ الصَّحيحةَ حَسبَ نظريةِ المَعرفةِ الحَديثَة.
وَلنُسَمِّ مَبدَأَ العَجزِ هَذَا : مَبدَأَ العَجزِ التَّجريبيّ.
وقَد يَبدًو لَنَا لَلوَهلَةِ الأُولَى أنَّهُ لا مَكانَ أَصلاً لِلعَجزِ فِي المَنطِقِ والرِياضياتِ عَلى اعتِبارِ أنَّهُمَا غَيرُ مَعنِيّيَنِ بالتَّجرُبَةِ وإنَّمَا يُطَبِّقَانِ نِظَاماً عَقليّاً خَالِصاً يَعتَمِدُ أَسَاساً عَلى استِنبَاطِ المَعَانِي والدَّلَالَاتِ مِنَ المَبانِي المُمَيَّزَةِ والأشكَالِ المُنضَبِطَةِ للمَقولاتِ المَنطِقِيَّةِ أو المُعَادَلاتِ الرياضيةِ ويَشتَقُّ النَّظَرياتِ الجَديدَةَ مِن مَجموعةِ مُسلَّمَاتٍ سابِقَةٍ عَليها دونَ اعتِبَارٍ لِصحَةِ أَو خَطَأِ هَذهِ المُسلَّمَاتِ فِي العَالَمِ الحَقيقيّ.
وهَذَا صَحيحٌ بِالفِعلِ لَكِنَّ استِخدَامَ المَنطِقِ والرياضياتِ لُغاتٍ ذَاتِ قُدراتٍ تَعبيريةٍ مُعَيَّنَةٍ لِوَصفِ المُسَلَّمَاتِ أو النظرياتِ أو لِصياغةِ البراهينِ والاستِنتَاجاتِ ثُمَّ حِرصَهُمَا عَلى رَفعِ التَّنَاقُضِ المَنطِقِيِّ عَن كُلِّ هَذا يَطرَحُ سؤالاً هاماً :
هَل يُمكِنُ أَن تَخلوَ جُمَلُ اللغاتِ – الطبيعيةِ مِنها أو الصِنَاعيةِ –المُستَخدَمَةِ فِي الحُجَجِ المَنطقيةِ والرياضيةِ مِن التَّناقُضاتِ فِعلاً؟
وإِن كَانَ الأمرُ كَذلكَ: هَل نَستطيعُ بِناءَ نِظامٍ صُوريٍّ مَنطقيٍّ خَاصٍ بالرياضياتِ مَثَلاً يَكونُ قادراً عَلى استِنباطِ كُلِّ النَّتائِجِ المُمكِنَةِ مِن مَجموعَةٍ مُعَيَّنَةٍ مِن الفَرَضِيَّاتِ دُونَ الإخلالِ بِشرطِ عَدَمِ التَّناقُض هَذا؟
الجَوابُ عَلى التَّساؤلِ الأخيرِ سَلبِيٌّ ولَهُ في هَذه المَرَّةِ بُرهانٌ مَنطقِيٌ ورياضِيٌ كَامِلٌ ومُستَقِلٌّ نَدينُ بِهِ لِلعالِمِ الكَبيرِ جودل.
هَذا الجَوابُ السَّلبِيُّ هو ما نَقصُدُهُ حِينَمَا نَتَكلَّمُ بِشكلٍ عَامٍ عَن العَجزِ في المَنطقِ والرياضِيات. ولِنُسمِّهِ هُنا: عَجزاً عَقليّاً.
فِيمَا يَلي سَنُفَصِّلُ أنواعَ العَجزِ العَقلِيِّ ونَعتَبِرُ أنَّهَا ثَلاثةٌ: عَجزٌ عَن التَّعريِفِ وعَجزٌ عَن الاستِنبَاطِ وعَجزٌ عَن الحَسم.
يُمَثِّلُ العَجزُ عَن الاستِنبَاطِ – تَاريخيَّاً – أَوَّلَ النَّتَائِجِ الأُصوليَّةِ الهَامَّةِ ويُفيدُ بوجودِ نَظَريَّاتٍ صَحيحةٍ مَنطقياً عَن الأَعدادِ الطَّبيعيةِ لَكنَّهَا مُستحيلةَ الإثبَاتِ في الرِّياضياتِ المَدرَسِيَّة.
نُطلقُ على النِّظامِ الصُّوريِّ الَّذِي يُتيحُ استنباطَ كُلِّ النَّظَريَّاتِ الصَّحيحةِ صِفَةَ “الكَمالِ المَنطِقِيِّ” وَتَكونُ الرِّياضياتُ المَدرسِيَّةُ بالتَّالي غَيرَ كَامِلَةٍ مَنطِقِيّاً.
أما العَجزُ عَن الحَسمِ فيَتَعَلَّقُ بِقُدرتِنَا عَلى تَحويلِ النِّظامِ الصُّوريِّ مَحَلِّ الدِراسةِ إلى آلياتٍ خَوارزميةٍ يُمكِنُنَا تَطبيقَهَا عَلى أجهزةِ الحاسِبِ مَثَلاً. ولَقَد أَصبحَ التَّعريفُ العَمَلِيُّ التَّالِي للخَوارِزمِ دَارِجاً :
“الخوارزمُ هو آليَّةٌ عَمَلِيَّةٌ يُمكنُ وَصفُها في مُحتوىً نهائيٍّ من الذاكرةِ والوقتِ بإستخدامِ لغةٍ صُوريةٍ دقيقةٍ لحسابِ دالةٍ رياضيةٍ أو مَنطقِّيةٍ مُعَيَّنَة.”
نُلاحِظُ أنَّ هَذَا التعريفَ يَربِطُ طَريقةَ حَسابِ الدَّالَةِ بِالآلةِ وَلَا يَشتَرِطُ مَع ذَلِكَ حَتمِيَّةَ تَوَقُّعِ الحَالاتِ الحِسابيةِ المُختلفةِ لِهذه الآلةِ أَي أنَّه يِترُكُ المَجالَ مَفتوحَاً – مَبدَئيّاً – لِتَخَيُّلِ آلاتٍ تَتَغَيَّرُ حَالاتُهَا بِطُرُقٍ غَيرِ مُتَوقَّعَة. سَتَكونُ لِهذِهِ المُلاحَظَةِ أَهَمِّيَتُهَا حِينَمَا نَتَكَلَّمُ فِيمَا يَلِي مِن هَذا الجُزءِ عَن القُدُراتِ الحِسابِيَّةِ العَمَلِيَّة.
يبقَى السُّؤالُ الهَامُ : مَا هِي الدَّوالُ التي يُمكِنُنا حِسِابَهَا فِعلاً بالخوارزمياتِ؟ وهل هُناكَ طَريقةٌ رياضيةٌ مُثبَتَةٌ لِحصرِ ومَعرفَةِ هذه الدَّوالِ؟
أَجَابَ عَن هَذا السُؤالِ كُلٌّ مِن تورنج وتشيرش بِشَكلٍ مُستَقِلٍ فَافتَرَضَا – فِيما يُطلَقُ عَليه اليومَ “فَرضيةُ تشيرش-تورنج” – أنَّ هَذه الدوالَ تُكافِيءُ فِي الريَاضياتِ التقليديَّةِ دَوالِ الاستِدعاءِ الذَّاتِيِّ أَي تِلكَ الَّتِي تُعَرَّفُ بِدَلَالَةِ أجزَاءٍ أَصغَرَ مِن نَفسِهَا وَتَقبَلُ بالتَّالِي تَطبيقَ بَراهينِ الاستِقراءِ الرِّياضيِّ الكَاملِ عَليهَا.
وَمَعَ أنَّ هَذه الفَرضِيَّةَ مِن مُسَلَّمَاتِ عُلومِ الحَاسباتِ اليومَ إلَّا أنَّها بَاقِيَةٌ بِلا بُرهانٍ وتُعتَبَرُ مِثالاً وَاضِحَاً عَلى افتقارِ بَعضِ أَهَمِّ مُسَلَّمَاتِ عُلومِ الحَاسِبَاتِ الحَديثةِ إلى اليَقينِ والقَطع.
مَاذَا عَن الدَّوالِ الَّتِي لَا يُمكِنُنا حِسَابَهَا بالطريقةِ الخوارزميةِ وهَل نَستطيعُ تَفسيرَ عَجزِنا هَذا ؟
تُساعدُ نَتَائِجِ كانتور المُتعلقةِ بالمجموعاتِ اللانهائيةِ على فَهمٍ أعمقٍ لِهَذِه الظاهرةِ : فالدَّوالُ الَّتِي نُطَبِّقُها عَلَى مَجَالاتٍ لانِهائيةٍ قَابِلَةٍ لِلعَدِّ كَالأعدادِ الطَّبيعيَّةِ مَثَلاً والَّتِي تُسَمَّى : “مَجَالاتٍ بُنيَويَّةٍ“ هِيَ تِلكَ الَّتِي تُوجَدُ لَهَا خَوارزميَّاتٍ أَمَّا الَّتِي نُعَرِّفُهَا عَلَى مَجموعاتٍ غَيرِ قَابلةٍ لِلعَدِّ مِثلَ مَجموعةِ الأعدادِ الحَقيقيةِ فَلَا يُمكِنُ – مَبدَئِيّاً – تَحويلُها إلى آلياتٍ خَوارزمية.
السَّبَبُ في ذَلكَ يَكمُنُ فِي أنَّ الآلةَ حَسبَ التَّعريفِ السَّابِقِ لابُدَّ أن تَكونَ لَدَيها -عَلى أقلِ تقديرٍ- القُدرَةُ عَلى عَدِّ عَناصِرِ المُدخَلاتِ وتَمييزِها عَن بَعضِها البَعضِ كَي تَتَمَكَّنَ مِن مُعالجتِها بِشكلٍ مُعيَّنٍ مَطلُوب.
أَخيراً : أَضافَ تارسكي لِمَفهومَي العَجزِ السَّابِقينِ مَفهوماً ثالثاً مُهِمّاً حِينَ شَرَعَ في دِراسةِ طَريقةِ تَعريفِ الحقيقةِ المَنطقيةِ في اللُّغاتِ الصُّوريةِ والرياضِيَّة. نَحتاجُ لِفهمِ نَتائجِهِ أَن نُفرِّقَ بَينَ نَوعينِ مِن التَّعريفاتِ : التَّعريفِ المَعنَوِيّ والتَّعريفِ المَادِيّ.
أمَّا التَّعريفُ المَعنَوِيُّ للحقيقةٍ المَنطقيةِ فَهو ما نَستَخدِمه فِي لُغاتِنَا الطبيعيةِ ونَعني بِه إجمالاً: إمكانيةَ إثباتِ الجُملِ بِبُرهانٍ حِسِّيٍ أو مَنطِقِيٍّ (بِلَا تَحديدٍ لِطَريقةِ البُرهانِ المَقبولَةِ).
لَا يَصلُحُ هَذَا النَّوعُ مِنَ التَعريفِ المُجمَلِ لِلآلةِ بِالطَبعِ لأنَّها تَحتاجُ إلَى تَفصيلٍ بُنيَوِيٍّ دَقيقٍ ومُنضبطٍ لِأِّي مَفهومٍ صُوريٍّ تَستَخدِمُهُ ويَنبغِي لِهَذَا التَّفصيلِ أَن يَكونَ مُتَعَلِّقَاً بِالمبانِي (أَي مَجموعاتِ الرُموزِ) لا المَعانِي اللُّغَويَّةِ أو الدَّلَالَاتِ الَّتِي لَا يُدرِكُهَا إلاَّ الإنسَان.
نَحتاجُ إذاً إلَى وَصفٍ مَادِّيٍّ مُتَكَامِلٍ لِمَا نَعنِيهِ ب”الجُملةِ المَنطقيةِ” أو “البُرهَان” إن أَرَدنَا مُحَاكاةَ هَذه المَفاهيمِ العَقليَّةِ آليّاً.
أَسهلُ طَريقةٍ لِبِناءِ هَذَا الوصفِ هِي أَن نَجمعَ – نَظرياً – كُلَّ الجُمَلِ المَنطِقِيَّةِ الصَّحِيحَةِ المُكَوَّنَةِ بِواسِطَةِ لُّغَةِ مُعيَّنَةِ “غ” فِي مَجموعةٍ خَاصَّةٍ (لِنُسمِّهَا مَثَلاً: “ص”) ثُمَّ نَشترطً أَن : تَكونَ الجُملةُ المَنطقيةُ “ج” مِن “غ” صَحيحةً إذَا – وإذَا فَقَط – كانَت تَنتَمِي للمَجموعةِ “ص”. لِنُسَمِّ هَذهِ الطَريقَةِ هُنا : سَرداً مادِّياً.
يَكمُنُ إنجَازُ تارسكي فِي أَنَّهُ بَيَّنَ – لَيسَ فَقَط لِلنُّظُمِ الصُّوريَّةِ الرياضيةِ وإنَّمَا لِلنُّظُمِ الصُّوريَّةِ المَنطِقِيَّةِ عَامَّةً – أنَّ “ص” المُنشَأَةَ بِطريقَةِ السَّردِ المَّاديِّ تُصبحُ غَيرَ قَابِلَةٍ لِلعَدِّ دَاخِلَ مَنظومةِ “غ” إن كانَ لِلُّغَةِ “غ” قُدراتٍ تَعبيريةٍ تُمَكِّنُهَا مِن تَكوينِ مَقولاتٍ عَن مَعانِي الجُمَلِ فِيهَا.
بِمعنىً آخَرَ : لا تَوجَدُ طَريقةٌ خوارزميةٌ لِتعريفِ الحقيقةِ المَنطِقيَّةِ دَاخِلَ أيةِ لُغَةٍ ذَاتِ قُدراتٍ تَعبيريةٍ تُمَكِّنُها مِن تَشكيلِ جُمَلٍ ذَاتِ مَرجِعِيَّةٍ ذَاتيَّةٍ ونَحتاجُ فِي هَذِهِ الحَالَةِ إلَى لُغَةٍ أكثَرَ شُمُولاً وأقوَى تَعبِيراً (ولنُسمِّهَا : “غ_”) كَي نَستطيعَ الإحاطةَ بِهَذِه الحَقيقَة.
نُطلِقُ عَلَى “غ_” صِفَةَ اللُّغَةِ المُعَرِّفَةِ ونُعَبِّرُ فِيهَا مَادِّياً عَن كُلِّ المَعانِي المَعنويةِ الَّتِي نَحتَاجُها لِلُّغَةِ “غ”.
وَلَقَد كانَ لِكشفِ تارسكي هَذا (والَّذي تَوَصَّلَ إليه جودل بِشَكلٍ مُستَقِلٍ أَيضاً) أثَراً مُهِمّاً في إنهاءِ مُحاولاتِ العُلماءِ إيجادَ مَعانٍ أو دَلَالَاتٍ لِلعملياتِ المُستَخدَمَةِ فِي نَظَريَّةِ المَجموعاتِ باستِخدامِ نَظريَّةِ المَجموعاتِ نَفسِهَا وأَصبحَ شَائِعاً اليَومَ أَن تُعَرَّفَ هذه المَعَانِي باستِخدامِ اللُّغةِ الطَبيعيةِ فَقَط.
إلَّا أَنَّ النَّتَائِجَ المَعرفِيَّةَ لِهذَا الكَشفِ كانَتْ أكبَرَ : فَقَد تَبَيَّنَ إذاً أنَّ مُعظَمَ النُّظُمِ المَنطِقِيَّةِ الصُّورِيَّةِ المُهِمَّةِ عَمَلِيّاً – كَتِلكَ الَّتِي نَبنِيهَا بِنَظَرِيَّةِ المَجموعاتِ مَثَلاً – لا يُمكِنُ مَيكَنَتُهَا بِشكلٍ خَوارزميٍّ تَامٍ حَتَى وَإن قُمنَا بِتَعريفِ سَلاسِلَ مِن اللُّغاتِ المُرتَبِطَةِ بَعضِها بِبعضٍ بعَلاقاتِ التَّجريدِ والتَّعميمِ (كارتِباطِ “غ” مَعَ “غ_”) وَذَلكَ لأنَّنَا سَنُضطَّرُ فِي نِهايةِ أَيَّةِ سِلسِلَةٍ أنْ نَقبَلَ بافتِراضِ وجودِ مَعَانٍ فِي اللُّغةِ المُعَرِّفَةِ الأُولَى لَا ُيمكِنُ وَصفُهَا بِشكلٍ صُوريٍّ أَصلَا.
هَذَا بالضَبطِ هو مَا نُسَمِّيه : العَجزَ عَنِ التَّعرِيف ويُقَصدُ بالتَّعريفِ هُنا تَعريفُ المَعَانِي والدَلَالَات وأَهَمُّهَا مَعنَى الحَقيقَة.
فِي هَذَا الجُزءِ سَنُفَصِّلُ مِن مَا سَبَقَ ما يَحتَاجُ إلَى تَفصِيلٍ بِالرُّجوعِ إلَى أُصولِ المَنطِقِ الرِّياضِيِّ الحَديثِ فِي أَعمَالِ بول وَ فريجة قَبلَ أَن نَشرَحَ نَتَائِجَ كُلٍّ مِن جودل وتارسكي بِشَكلٍ مُجمَلٍ قَدرَ الإمكَان وَدونَ الاضطِرارِ إلَى الخَوضِ فِي التَّفاصيلِ الصُّوريَّةِ المُعتَادَةِ وَذَلِكَ تَيسيراً لِلفَهمِ.
يَلي هَذا تَبيِينٌ لِأوجُهِ الاعتِراضِ المُختَلِفَةِ – مِن وجهَةِ النَّظَرِ اللُّغَوِيَّةِ – عَلى مَنطِقِ فريجة وَشَرحٌ لِنَظريَّاتِ تشومسكي ومونتيجيو اللُّغَوِيَّةِ الَّتِي تُجَسِّدُ مُعظَمَ هَذهِ الاعتِراضَات.
يَلي ذَلِكَ مَقطَعٌ خَاصٌ بِاللُّغَةِ العّرَبِيَّةِ نَربُطُ فِيهِ خَواصَّهَا المَعروفَةَ مُنذُ القِدَمِ بالسَّياقِ المَنطِقِيِّ مَحَلِ الاهتِمَام.
يَنتَهِي هَذا الجُزءُ بِمِثَالَينِ عَن الاستِخدَامِ الحَديثِ لِمَبَادِيءِ العَجزِ فِي التَّعاريفِ الرِّياضِيَّةِ أَحَدُهُما مُتَعَلِّقٌ بِمَفهومِ العَشوائِيَّةِ والثَّانِي بِنَظرَةٍ جَديدَةٍ لِماهِيَّةِ المُتَغَيِّراتِ المَنطِقِيَّةِ استَخدَمَهَا كَاتِبُ هَذَا المَقَالِ مُؤَخَّراً فِي أبحَاثِهِ: (8), (9) و(10) لِتَّأسيسِ طَريقَةِ حّلٍّ جَديدَةٍ لِمُشكِلَةِ الان بي مَازَالَتْ قَيدَ التَّدقيقِ والبّحثِ مِن قِبَلِ المُهتَمِّينَ بِهَذا المَجَال
