وَقَد تَزَامَنَ هَذا الاستِخدامُ لِلمَرجِعِيَّةِ الذَّاتِيَّةِ مَع استِخدامٍ لَا يَقِلُّ أَهَمِّيَةً فِي نَظريَّةِ المَجموعاتِ اللَّانِهائيَّةِ – الَّتِي كَانَتْ وليدَةً وَقتَئِذٍ – حَيثُ بَرهَنَ كانتور بِطريقَةٍ شَبيهَةٍ عَلى أَنَّ مَجموعةَ الأعدادِ الحَقيقيةِ “ح” هِي مَجموعةٌ لَانِهائيةٌ غَيرُ قَابلةٍ لِلعَدّ.
شكل -1
يَسيِرُ البُرهانُ كَمَا يَلِي:
لِنَفتَرضْ أَنَّ “ح” قَابِلَةٌ لِلعَدّ. هَذا يَعنِي أنَّهُ يُمكِنُنَا أن نُرَتِّبَ الأرقَامَ فِي مَصفوفَةٍ تُمَثِّلُ صُفوفُها الأرقامَ (بِالنِّظامِ الثُنائِيِّ) وأَعمِدَتُهَا خَانَاتِ هَذه الأرقَامِ كَمَا هوَ مُبَيَّنٌ فِي شَكلِ -1.
سَنستَخدِمُ خَاناتِ القُطرِ (الحَمراءِ فِي الشَّكلِ) لِتكوينِ رَقَمٍ مَخصوصٍ (خَاناتُهً لُونُهَا أَزرقٌ) كَمَا يَلِي : تَكونُ أَوَّلُ خَانَةٍ مِن اليَسارِ فِي الرَّقَمِ الجَديدِ مُخالِفَةً لأوَّلِ خَانَةٍ فِي القُطرِ (الصَّفِ الأَوَّلِ) وَثَانِي خَانَةٍ مِن الرَّقمِ لِثَانِي خَانَةٍ فِي القُطرِ (الصَّفِ الثَّانِي) وَهَكذا بِحيثُ تُخالِفُ الخَانَةُ رَقم “ن” في الرَّقَمِ الجَديدِ الخَانَةَ الَّتِي يَمُرُّ بِها القُطرُ فِي الصَّفِ “ن”.
الرَّقَمُ المُنشَأُ الجَديدُ رَقَمٌ حَقيقِيُّ حَسبَ التَّعريفِ. يَجِبُ بالتَّالِي أَن يُمَثِّلَهُ صَفٌّ فِي هَذه المَصفوفَةِ ولنَقُلْ أنَّه “ص”. بِمَا أّنَّ القُطرَ يَمُرُّ بِالصَفِّ “ص” حَتماً فإنَّ الرَّقَمَ الجَديدَ سَيكونُ – حَسبَ التَّعريفِ – مُخالِفاً لِلرَّقَمِ المُمَثَّلِ فِي “ص” فِي خَانَةٍ واحِدَةٍ عَلى الأقلِّ (وَهي الخَانَةُ الَّتِي يَمُرُّ بِهَا القُطر).
الرَّقَمُ الجَديدُ مُخَالِفٌ لنِفَسِهِ بالتَّالِي فِي خَانَةِ مِن خَانَاتِهِ وهوَ تَناقُض. نَخلُصُ مِن هَذا أنَّه لَاُيمكِنُنَا أَن نُنشِأَ مِثلَ هَذهِ المَصفوفةِ أَصلاً وتَكونُ “ح” – بِناءً عَليهِ – غَيرَ قابِلةٍ لِلعَدّ.
(نِهايَةُ البُرهَان)
إكتَسَبَتْ طَريقَةُ البُرهانُ السَّابِقُ (وَالَّتِي يُطلَقُ عَليهَا : طَريقَةَ القُطرِ) أَهَمِّيةً قُصوَى فِي الرِّياضياتِ وخَاصةً بَعدَ أَن استَخدَمَهَا كُلٌ مِن جودل وتارسكي فِي إثبَاتِ أطروحَاتِهِم الشَّهيرَةِ كَما سَنَرَى فِي المَقطَعِ القَادِمِ وَمِن ثَمَّ أصبَحَتْ الطَّريقَةَ التَّقليديَّةَ لإثباتِ عَدَمِ إمكانِيَّةِ حَسمِ أنواعِ المَشاكِلِ المَفتوحَةِ المُختَلِفَة.
