٣- مُقدِّمَةُ بُرهَانِ عَدَمِ الكَمَالُ

كَانَ عَلَى جودل إذاً أَن يَجعَلَ التَّعبيرَ “ج” ذِا مَرجعِيَّةٍ ذَاتِيَّةٍ مُتَعَلِّقَةٍ بِمَفهومِ الاستِنبَاطِ لَا الحَقيقةِ كَمَا رَأينَا لِيُحَقِّقَ بِذَلِكَ تَنَاقُضاً شَبيهاً بِتَنَاقُضِ راسل

:إختَارَ لِذَلِكَ الصُّورَةَ البَسيطَةَ

“ج=”لَا يُمكِنُ إثباتُ هَذهِ الجُملَة فِي مَنظومَةِ بيانو

:لِتَنفيذِ مَا أَرادَ تَعَيَّنَ عَلَيه أَن يُحَقِّقَ أمريَن

أَوَّلُهُمَا : أَن يُعَبِّرَ عَن “ج” بِاستِخدامِ الأَعدادِ الطَّبيعيَّةِ فَقَط لِيستَطيعَ تَطبيقَ فَرضِيَّاتِ وقَواعِدِ بيانو عَليهَا

وثَانيهِمَا : أَن يُنشِئَ “ج” بِهذهِ الفَرَضِيَّاتِ والقَواعِدِ وَحدَها وبِشَكلٍ بُنيَوِيٍّ سَليمٍ قَابِلٍ لِلحِسابِ لَا أَن يَكتُبَهَا وَحَسب

مَا الفَرقُ بَينَ إنشَاءِ الجُّمَلِ الرِّيَاضِيَّةِ بُنيَوِيّاً بِاستِخدامِ فَرَضِيَّاتٍ مُعَيَّنَةٍ وَ”مُجَرَّدِ” كِتَابَتِهَا ؟

:لِنَأخُذَ مَثَلاً الجُّملَةَ السَّلِيمَةَ

“4+5*3+6”

:تُتِيحُ لَنَا فَرَضِيَّاتُ بيانو أَن نَفهَمَهَا كالتَّالِي

“4+(5*3)+6″=25

أَي أَن نَعتَبِرَ التَّعبيرَ المُحتَوِي عَلى عَلَامَةِ الضَّربِ ذَا أَولَويَّةٍ فِي الحِسَاب

:نُلاحِظُ أنَّ وَضعَ الأقواسِ بِشَكلٍ مُختَلِفٍ كَمَا يَلِي

“(4+5)*(3+6)”=81

يَجعَلُ النَّتِيجَةَ مُغَايرَةً تَماماً لأنَّهُ يُقَدِّمُ الجَّمعَ عَلى الضَّربِ فِي هَذا التَّعبيرِ بِالذَّات

فِي كِلتَي الحَالَتَينِ نَحتَاجُ فَرَضيَّاتِ بيانو لِحِسَابِ المَعنَى الصَّحيحِ تَدريجِيّاً ويَتِمُّ بِنَاءُ تَعبيرٍ أَوَّليٍّ “(3*5)” أَو “(5+4)” قَبلَ إكمَالِ بَقِيَّةِ تَعابيرِ الجُّملَةِ وَنَستَطيعُ دَائِماً بِاستِخدامِ هَذِهِ الأَولَويَّاتِ أَن نَحسِبَ القِيمَةَ النِّهَائِيَّةَ بِشَكلٍ دَقيقٍ وَمُنضَبِط

فَإِن اعتَبَرنَا أَنَّ النِّظامَ المَنطقيَّ غَيرَ المُتَنَاقِضِ “ظ” يُحَقِّقُ لِأيِّ مَفهومٍ مَنطقِيٍّ (أَو دَالَّةٍ مَنطِقِيَّةٍ) “ع” وَمُدخَلٍ “ن” الصِّفَةَ التَّاليَةَ

:(والمُسَمَّاةَ : صِفَةَ الصِّحَّةِ)

– “((((إذَا كَانَ: “ظ | ع(ن)” فَإنَّهُ: “ليس (ظ | (يوجد(س): عكس(ع(س” –

بِمَعنىً آخَرَ : تَعنِي صِفَةُ الصِّحةِ لِلنِظامِ “ظ” أَنَّهُ لَا يُمكِنُ استِنبَاطُ التَّعبيرِ وَعَكسِهِ فِي ظ

فَإنَّنَا نَتَوَقَّعُ أَن يَكونَ تَحَقُّقُنَا مِن صِحَّةِ أَو خَطَأِ “ج” مُمكِناً بِواسِطَةِ الاستِنبَاطِ لِأّنَّ مَا يَضمَنُهُ الإنشَاءُ البُنيَوِيُّ السَليمُ لِلتَّعابيرِ كُلِّهَا (وَلِ”ج” خَاصَّةً) هُوَ إمكانِيَّةُ حِسابِ قِيمَتِهَا خَوارِزمِيّاً بِدِقَّةٍ وتَميِيزُهَا عَن تِلكَ الَّتِي تَحتَوِي عَلى خَلَلٍ أو نَقصٍ فِي التَّعرِيف كما رأينا فِي مِثالِ الضَّربِ وَالجَّمعِ السَّابِق

لَكِنَّ جودل بَيَّنَ بِالبُرهَانِ الرِّياضِيِّ المُنضَبِطِ – كَمَا سَنَرَى فِيمَا يَلِي – أَنَّ هَذا غَيرُ مُمكِن

:تَغَلَّبَ جودل عَلى التَّحَدِّي الأَولِ بِفكرَتَين

أوَّلاً– مَا نُسمِيهِ اليَومَ “تَكويدَ جودل” ويَتَمَثَّلُ فِي إعطاءِ كُلِّ تَعبيرٍ مَنطقِيٍّ يُمكِنُ انشَاؤُهُ بِواسِطَةِ فَرَضيَّاتِ بيانو رَقماً طَبيعيّاً مُمَيَّزاً (سَنُطلِقُ عَلَيهِ لِلتَّبسيطِ هُنَا: كُوداً) لَا يَسمَحُ بالالتِبَاس

:وَقَد أمكَنَهُ تَحقيقُ ذَلِكَ باستِخدامِ الأعدَادِ الأوَّليَّةِ بِالطريقةِ التَّالية

يَتِمُّ تَحويلُ أَيِّ تَعبيرٍ مَنطِقِيٍّ

ت=”ح_أح_بح_ج…ح_س“, حَيثُ: “ح_س“رَمزٌ فِي التَّعبِير

:إلَى الرَّقمِ الكُودِيِّ

ر= 2^{كودح أ}*3^{كودح ب}*5^{كودح ج}…. *ع ^{كودح س}

حَيثُ: “ع” وكود_{ح س} أَعدادٌ أوَّلِيّةٌ لِأيِّ ح_س

سَنَقومُ فِيمَا يَلِي بِاستِخدامِ الرَّقَمِ الكُودِيِّ “#س” بَدَلاً عَن التَّعبيرِ المَنطِقِيِّ “س” إلَّا حِينَمَا يَتِمُّ تَعريفُ “س” بِمُعَادَلَةٍ عَلَى شَاكِلَةِ

 س=”…” 

ثِانِياً– تَحويلُ التَّعابير ِالرِّياضِيَّةِ جَميعِهَا قَبلَ إعطَائِهَا أكوَاداً (بِمَا فِيهَا تِلكَ التَّعابِيرِ الَّتِي تَرمُزُ إلَى الأعدَادِ) إلَى تَعابيرَ مَنطِقِيَّةٍ تَحتَوي عَلى رُموزٍ مِن فَرَضِيَّاتِ بيانو فَقَط والَّتِي يُعَبَّرُ فِيهَا عَن الأعدادِ الطَّبيعيَّةِ كَالآتِي

0 –العدد 0

تالي(0)–العدد 1

تالي(تالي(0)) – العدد 2

…..

“حَيثُ يَرمُزُ “تالي(#س)” إلَى العَدَدِ الطَّبيعِيِّ التَّالِي لِلعَدَدِ “#س

كَانَ الهَدَفُ مِن هَذَا التَّحويلِ الرَّمزِيِّ لِلتَّعَابيرِ الرِّياضِيَّةِ هُوَ الوُصولُ – دَاخِلَ مَنظومَةِ بيانو نَفسِهَا – إلَى الشَّكلِ الصُّوريِّ لِلجُملَةِ

برهان(#س,#ص)= تُمَثِّلُ المُتَوَالِيَةُ المُكَوَّدَةُ #س بُرهَاناً لِلجُملَةِ المُكَوَّدَةُ #ص

إستَخدَمَ جودل 45 تَعريفاً مُختَلِفاً لِعلاقَاتٍ (أو دَوالٍ) مَنطِقِيَّةٍ بَسيطَةٍ يَنبَنِي بَعضُهَا عَلى بَعضٍ لِتَحقيقِ هَذَا الهَدَفِ ثُمَّ عَرَّفَ أَخيراً العَلَاقَةَ غَيرَ البَسيطَةِ التَّالِيَةَ والمُشتَقَّةَ مِنَ التَّعبيرِ البَسيطِ السَّابِق

“إثبات(#س)=”يُمكِنُ إثبَاتُ الجُملَةِ المُكَوَّدَةِ #س فِي مَنظومَةِ بيانو

:والَّتِي تُكتَبُ صُورِيّاً كَالآتِي

“(إثبات(#س)=”يوجد(#ص) بِحَيثُ: برهان(#س,#ص

وَبَرهَنَ بَعدَ ذَلِكَ فِي النَظَريّةِ الخَامِسَةِ مِن أُطروحَتِهِ عَلَى أّنَّهُ يُمكِنُ تَحويلُ أَيِّ دَالَّةٍ بَسيطَةٍ قَابِلَةٍ لِلحِسابِ (لِنُسَمِّهَا إختِصَاراً: دَالَّةً بَسيطَةً) إلَى تَعبيرٍ رِيَاضِيٍّ عَلى صُورةِ بيانو الرَّمزِيَّة بِشكلٍ خَوارِزمِيٍّ مُنضَبِط

نَظَرِيَّةُ جودل رَقمَ 5

 يُوجَدُ تَعبيرٌ بَسيطٌ “ت” بِهِ عَدَدُ “ن” مِنَ المُتَغَيِّراتِ لِكُلِّ عَلَاقَةٍ  بَسيطَةٍ “ع” بِحَيثُ

((ع(#س₁,#س₂,..#س_ن)>إثبات(ت(#س₁,#س₂,..#س_ن

(((عكس(ع(#س₁,#س₂,..#س_ن))>إثبات(عكس(ت(#س₁,#س₂,..#س_ن

تَمَيَّزَ بُرهانُ جودل لِهَذِهِ النَّظَرِيَّةِ بِأنَّهُ بُنيَوِيٌّ (أَي أَنَّهُ بُرهَانٌ يَستَخدِمُ الاستِقرَاءَ الرِّياضِيَّ الكَامِلَ) وتَتَّضُحُ فِيهِ كَيفيَّةُ بِنَاءِ الجُّمَلِ المَنطِقِيَّةِ الَّتِي تُعَبِّرُ عَن الدَّوالِ البَسيطَةِ بِشَكلٍ تَفصيليٍّ وَتَدريجِيّ وَهو مَا يَجعَلُهَا قَابِلَةً لِلتَّطبيقِ خَوارِزمِيّاً. بِالتَّالِي فإنَّ كُلّاً مِن 

“(برهان(#س,#ص”

وَعَمَلِيَّةِ التَّعويضِ عَن المُتَغَيِّراتِ فِي التَّعَابيرِ والَّتِي سَنَرمُزُ لَهَا هُنَا بالرُّمُوزِ اللَّاتينِيَّةِ

Sub(#j,#k)

ونَعنِي بِهَا استِبدَالِ المُتَغَيِّرِ “#س” بِالكودِ

“#k”

في الجُملَةِ المُكَوَّدَةُ

“#j”

قَابِلَةٌ لِلحِسابِ

أَهَمُّ نَتَائجِ هَذهِ النَّظَرِيَّةِ أَنَّهُ يُمكِنُنَا فِي مَنظومَةِ بيانو -دَائماً- كِتَابَةَ تَعبيرٍ لُغَوِيٍّ سَليمٍ يُمَثِّلُ وُجودَ أَو عَدَمَ وُجودِ عَلَاقَةٍ بَسيطَةٍ بِعَينِهَا لَكِنَّ العَكسَ غَيرَ صَحيحٍ: فَلَيسَ كُلُّ تَعبيرٍ سَليمٍ بُنيَوياً مُمَثِّلاً لِعَلَاقَةٍ بَسيطَةٍ كَمَا سَنَرَى فِيمَا يَلِي

لِلتَّغَلُّبِ عَلى التَّحَدِّي الثَّانِي – أَي إنشَاءِ “ج” بِشَكلٍ بُنيَوِيٍّ قَابِلٍ لِلحِسابِ كَبَقِيَّةِ التَّعابِيرِ- أَدرَكَ جودل أَنَّهُ يُمكِنُ كِتَابَةِ المَصفوفَةِ اللَّانِهائِيَّةِ لِعَمَلِيَّةِ التَّعويضِ وَالَّتِي تُعَبِّرُ صُفوفُها عَن الأرقَامِ الكودِيَّةِ لِكُلِّ التَّعابيرِ المَنطقيَّةِ السليمة  وتُمَثِّلُ أَعمِدَتُهَا الأعدَادَ الطَّبيعيَّةَ الجّارِي التَّعويضُ بِها 

فِي هَذِهِ التَّعابِيرِ كَمَا فِي الشَكل

شكل – 3

لِلتَّوضِيحِ: نَفتَرِضُ مَثَلاً أنَّ الرَّقَمَ الكودِيَّ “3” بِالصَفِّ الثَالِثِ فِي الشَّكلِ يُمَثِّلُ تَعبيرَ الدَّالةِ

G₃(س#)=

“د(#س)=”#س رَقَمٌ زَوجِيٌ

 فَيَكونُ الصَّفُّ

Sub(3,1) Sub(3,2) Sub(3,3) … Sub(3,k)

مُمَثِّلاً لِلتَّعابيرِ

G₃(1)= “1 رَقَمٌ زَوجِيٌ”

 G₃(2)=  “2 رَقَمٌ زَوجِيٌ”

G₃ (3)= “3 رَقَمٌ زَوجِيٌ”

…

“والَّتِي تُكَوِّنُ – بِمُجمَلِهَا – سَردَ الدالَّةِ “د

بِالنِّسبَةِ إلَى الدالَّةِ “د” لَا يَعنِي التَّعبيرُ الوَارِدُ فِي قُطرِ المَصفوفَةِ

“Sub(3,3) “

شَيئاً مُمَيَّزاً سِوَى تَوَافُقِ الرَّقَمِ الكودِيِّ لَهَا مَعَ العَدَدِ الطَّبيعِيِّ المُرادِ التَّعويضُ بِهِ عَنِ المُتَغَيِّرِ “#س” فِي تَعبيرِهَا الخَاصِّ

لِنَفتَرِضَ الآنَ أنَّ الرَّقمَ الكودِيَّ

“#j”

يُمَثِّلُ الدَّالَّةَ : “إثبات(#س)” السَّابِقَة

:يَكونُ الصَّفُّ

Sub(#j,1) Sub(#j,2) Sub(#j,3) … Sub(#j,#k)

:عِندَهَا مُمَثِّلاً لِلتَّعَابيرِ

G_j(1)= “يُمكِنُ إثبَاتُ الجُملَةِ المُكَوَّدَةِ 1 فِي مَنظومَةِ بيانو”

G_j(2)= “يُمكِنُ إثبَاتُ الجُملَةِ المُكَوَّدَةِ 2 فِي مَنظومَةِ بيانو”

G_j(3)= “يُمكِنُ إثبَاتُ الجُملَةِ المُكَوَّدَةِ 3 فِي مَنظومَةِ بيانو”

…

:وَيُصبِحُ التَّعبِيرُ

Sub(#j,#k)=Sub(#j,#j), j=k

وَهوَ تَعبيرُ القُطرِ لِدالَّةِ إثبات(#س) (المُمَيَّزُ فِي الشَّكلِ بِالمُرَبَّعِ الأزرَقِ فِي السَّطرِ الأخِيرِ) لَهُ المَعنَى التَّالِي

G_j(#j)=” فِي مَنظومَةِ بيانو #j يُمكِنُ إثبَاتُ الجُملَةِ المُكَوَّدَةِ”

ولأنَّ

Sub(#j,#j)

#j تَعنِي التَّعويضَ عَن #س بِالكود 

“فِي إثبات(#س)=”يُمكِنُ إثبَاتُ الجُملَةِ المُكَوَّدَةِ #س فِي مَنظومَةِ بيانو

يَكونُ أيضاً

Sub(#j,#j)= “فِي مَنظومَةِ بيانو #j يُمكِنُ إثبَاتُ الجُملَةِ”

 G_j(#j) فَلنَقُل أَنَّ “#ك”هوَ الرَّقَمُ الكُودِيُّ لِلتَّعبيرِ

:يُمكِنُنَا إذاً أَن نَصِلَ إلَى صُورَةِ المُعادَلَةِ

G_j(#j)=G_j(Sub(#j,#j))=ك

:الَّتي تَتَحَوَّلُ بِالتَّعويضِ إلَى

G_j(ك=(#ك

ونَستَطيعُ إعادَةَ كِتابَة هَذه المُعادَلَةِ لُغَوِيّاً بِالشَّكلِ التَّالِي

“ج~=”يُمكِنُ إثبَاتُ الجُملَةِ المُكَوَّدَةِ #ج~ فِي مَنظومَةِ بيانو

:وهوَ شَكلٌ قَريبٌ جِداً مِن

“ج=”لَا يُمكِنُ إثباتُ هَذهِ الجُملَة فِي مَنظومَةِ بيانو

الَّتِي نُحاوِلُ إثبَاتَهَا أَو نَفيَهَا فَالفَرقُ يَكمُنُ فِي الاشَارَةِ المَنطِقِيَّةِ السَّالِبَةِ فَقَط

تُسَمَّى “ك” نُقطَةَ الارتِكَازِ للدَّالَّةِ “إثبات()” لأنَّ الدَّالَّةَ تُكَرِّرُ قِيمَتَهَا فِيهَا

هَل يُمكِنُنَا إيجادَ نِقاطِ ارتِكازٍ لِكُلِّ الدَّوالِ المَوجودَةِ مَعَنَا فِي المَصفوفَة؟

الإجَابَةُ عَن هَذا التَّساؤلِ إيجَابيَّةٌ والسَّبَبُ أَنَّهُ يُمكِنُنَا الوصولَ إلَى نِقاطِ ارتِكازِ الدَّوالِ باستِخدامِ التَّعابيرِ البُنيَويَّةِ السَّليمَةِ فَقَط وَدونَ أَيِّ اعتِبَارٍ لِلمَعَانِي

هَذَا بالضَبطِ مَا أَثبَتَهُ جودل فِي مَا سُمِّيَ بَعدَ ذَلِكَ ب”نَظَرِيَّةِ نُقطِةِ الارتِكَازِ فِي المَنطِقِ” وَهيَ نَظَرِيَّةٌ ذَاتُ أهَمِّيَّةٍ كُبرَى فِي الوَصفِ  العَمَلِيِّ لَقَابِلِيَّةِ الحِسَاب. يَسيرُ إثبَاتُهُ كَمَا يَلِي

لِتَكُن “ج” أَيَّ دَالَّةٍ بَسيطَةٍ أَو غَيرِ بَسيطَة

سنقوم بِتَعريفِ دَالَّةٍ جَديدَةٍ (ولنسمها : “قطر()”) تَستَخدِمُ عَناصِرَ قُطرِ المَصفوفَةِ بِالشَّكلِ التَّالِي

“قطر(#س)= “طَبِّق ج عَلى عُنصُرِ القُطرِ #س

(Sub(1,1)) قطر(1)=ج

(Sub(2,2)) قطر(2)=ج

(Sub(3,3)) قطر(3)=ج

…

أَي أَنَّهَا تَقُومُ – لِكُلِّ قِيمَةٍ مِن قِيَمِ الأعدَادِ الطَّبيعيَّةِ – بِمُحَاكَاةِ “ج” فِي نِقاطِ القُطرِ فَقَط

بِمَا أنَّ “قطر()” دَالَّةٌ فَهَذَا يَعنِي وُجودَ كُودٍ لَهَا فِي المَصفوفَةِ ولِيَكُن:#ك

مَا هوَ التَّعبيرُ الرياضِيُّ النَّاشِيءُ عَن قطر(#ك) ؟

ت1

=ج(Sub(ك,#ك#))

(قطر(#ك

لَكِنَّنَا نَعلمُ بالتَّعويضِ المُباشِرِ أنَّ

“قطر(#ك)= “طَبِّق ج عَلى عُنصُرِ القُطرِ #ك

“ولِنَقُل أنَّ كُودَ قطر(#ك) هوَ:”#ق

فِي نَفسِ الوَقتِ تَعنِي

Sub(ك,#ك#)

التَّعويضَ عَن “#س” بِالكودِ “#ك” فِي تَعبيرِ الدَّالَّةِ الَّتِي رَقمُ كُودِهَا : #ك

:أَي أنَّ

“طَبِّق ج عَلى عُنصُرِ القُطرِ #ك”

=Sub(ك,#ك#)

:وبالتالي

(قطر(#ك) =

Sub(ك,#ك#)

وَيَكونُ التَّعبيرانِ لَهُمَا نَفسُ الرَّقَمِ الكُودِيِّ : “#ق” باعتِبارِ أنَّ تَكويدَ جودل لَايَسمَحُ لِلتَّعبيرِ الوَاحِدِ إلَّا بِرَقَمِ كُودٍ مُمَيَّزٍ وَغَيرِ مُتَكَرِّر. بِالتَّعويضِ فِي التَّعبيرِ ت₁ نَكونُ قَد وَصَلنَا لِلصُّورَةِ المّرجُوَّةِ

(ق=ج(#ق

(نِهايَةُ البُرهَان)