٢- الكَثافَةُ التَّعبيريَّةُ

يُمكِنُنَا الآنَ أَنُ نُبَرهِنَ عَلَى الخَاصِّيةِ الهَامَّةِ التَّالِيَةِ وَالمُسَمَّاةِ “الكَثافَةَ التَّعبيريَّةَ

لِتَكُنْ “ت” مَجموعةً مِنَ التَّعَابيرِ, إذَا وُجدَ نَموذَجٌ “م” بِحَيثُ

“م || ف) لِكُلِّ مَجموعَةٍ جُزئيَّةٍ نِهَائِيَّةٍ “ف” مِن “ت)

(فَإنَّهُ يُوجَدُ آخَرُ “م_” بِحيثُ: (م_ || ت

البُرهان

نَتَذَكَّرُ أّنَّ أَيَّ بُرهَانٍ مُكَوَّنٍ مِن مَجموعَةٍ نِهَائِيَّةٍ مَنَ الخُطوَات

ثُمَّ إنَّ

(ت | ت1) –>تُوجَدُ “ك” مِن “ت” بِحَيثُ: (ك | ت1)

وَالمَعنَى : فِي حَالَةِ وجودِ بُرهَانٍ نِهَائِيٍ لِأَيِّ تَعبيرٍ “ت1” بَدءاً مِن مُقَدِّمَاتٍ فِي “ت” فَإنَّه تُوجَدُ مجموعة جزئية “ك” من “ت” تُمَكِّنُنَا مِن استِنبَاطِ “ت1” أيضاً

وَالعَكسُ صَحيحٌ : إن استَطَعنَا إثباتَ تَنَاقُضِ “ت” فَإنَّ هَذَا الإثبَاتَ لَابُدَّ أَن يَتِمَّ بِمَجموعَة خُطوَاتٍ نِهائيَةٍ أَي أنَّنَا لَابُدَّ أَن نَجِدَ مَجموعَةً جُزئيَّةً “ك” تُؤدِي بِنَا إلَى هَذَا التَّنَاقُض

:نَخلُصُ إذاً إلَى أنَّه

تَكونُ كُلَّ مَجموعَةٍ جُزئيَّةٍ “ك” مِن “ت” غَيرُ مُتَنَاقِضَةٍ إذَا وَإذَا فَقَط كانَتْ”ت” غَيرُ مُتَنَاقِضَةٍ

نَستَطيعُ الآنَ أَن نُثبِتَ النَّظريَّةَ بِسُهولَةٍ حَيثُ أَنَّ وُجودَ نَموذَجٍ “م” لِكُلِّ “ف” مِن “ت” يُحَقِّقُ

(م || ف)

يَعنِي بِالضَّرورَةِ – حَسبَ خَاصيَّةِ صِدقِ النَّماذِجِ السَّابِقَةِ – أنَّ “ف” غَيرُ مُتَنَاقِضَة

هَذَا يَعنِي أنَّ “ت” بِدورِهَا غَيرُ مُتَنَاقِضَةٍ (كَمَا رَأينَا لِلتَّوِّ) وَلَهَا بِالتَّالِي نَموذَجٌ مَا حَسبَ نَفسِ الخَاصيَّةِ أَيضا

(نِهايَةُ البُرهَان)

نَستَطيعُ الآنَ بِاستِخدَامِ خَاصيَّةِ الكَثافَةِ التَّعَرُّفَ عَلَى حُدودِ نَمَاذِجِ المَعَانِي الَّتِي يُمكِنُنَا صُنعَهَا فِي مَنطِقِ فريجة

فَلنَتَأَمَّلْ أوَّلاً التَّعبيرَ المَنطِقِيَّ التَّالِي

“(ج0= “يُوجَدُ س ,ص بِحيثُ : (س ≠ ص

وَهوَ المُعَبِّرُ عَن الجُملَةِ

“يُوجَدُ شيئانِ مُختَلِفَانِ عَلَى الأَقَّل”

أَمَّا التَّعبيرُ

0^= “يُوجَدُ س ,ص بِحيثُ

“(((س ≠ ص) وَلِكُلِّ(ع): ((ع=س) أو (ع=ص))

فَيَعنِي وُجودَ شَيئَينِ مُختَلِفَينِ بِالضَّبط

:بِإمكَانِنَا إذاً التَّعبيرُ دَائماً عَن الجُمَلِ

“تُوجَدُ ثَلاثَةُ أشيَاءٍ مُختلفَةٍ عَلَى الأَقَّل”

“تُوجَدُ أربَعَةُ أشيَاءٍ مُختلفَةٍ عَلَى الأَقَّل”

“تُوجَدُ خَمسَةُ أشيَاءٍ مُختلفَةٍ عَلَى الأَقَّل”

وَهَكَذَا…

أَو نَظيرَاتِهَا الَّتِي تَعنِي وجودَ عَدَدٍ مُعَيَّنٍ مِنَ الأشيَاءِ بِالضَّبط

لِتَحقيقِ هَذَا نَستَخدِمُ الجُمَلَ المَنطِقِيَّةَ الشَّبيهَةَ بِالجُملَةِ “ج0” عَلَى شَاكِلَةِ

ج1=”يُوجَدُ س ,ص,ع بِحيثُ

“((س ≠ ص) و (س ≠ ع) و(ص ≠ع))

….

هَل يُمكِنُنَا إيجَادَ نَموذَجٍ لِلجُملَةِ التَّاليَةِ

ج^=”يُوجَدُ عَدَدٌ نِهَائِيٌّ مِنَ الأشيَاءِ المُختَلِفَة” ؟

سَنَرَى فِيمَا يَلِي أَنَّهُ لَا يُمكِنُنَا وأنَّنَا نَصطَدِمُ بِحَدٍّ مَعنَوِيٍّ هَام

مَاذَا عَن كِتَابَةِ التَّعبيرِ المَنطِقِيِّ المُكَافِيءِ لِ”ج^” فَقَط ؟

“لِتَكُنْ ج = {ج01,… جن} لِأَيِّ عَدَدٍ طَبيعِيٍّ “ن

تُعَبِّرُ المَجموعَةُ “ج” عَن وجودِ “ن” مِنَ الأشيَاءِ المُختَلِفَةِ عَلَى الأقَلِّ

وَمَا يَستَتبِعهُ مِن وجودِ “ن-1 من الأشياء المُختَلِفَةِ عَلَى الأقَلِّ” وَهَكَذَا

بِالتَّالِي فَإنَّ “عكس(ج)” يَعنِي وجودَ

عَدَدٍ مِنَ الأشيَاءِ أَقَلَّ أَو يُساوِي 1

أو عَدَدٍ مِنَ الأشيَاءِ أَقَلَّ أَو يُساوِي 2 

“وَهَكَذَا حَتَّى “عَدَدٍ مِنَ الأشيَاءِ أَقَلَّ أَو يُساوِي ن

هَل نَكونُ بِوَضعِ

 ( ج^=عكس( ج

قَد عَبَّرنَا بِشَكلٍ سَليمٍ عَن “ج^” ؟

نَعَم, لَكِنَّنَا نُلاحِظُ أنَّنا – لِلإحاطَةِ بِالمَعنِى المَقصودِ مِن “أَيِّ عَدَدٍ طَبيعِيٍّ” فِي “ج” – مُضطَّرونَ لِلُّجُوءِ إلَى “العَدَدِ الاعتِبَارِيِّ” أو المُتَغَيِّرِ :”ن” (وَهوَ مَا نَعنِيهِ لُغَوِيّاً عِندَ استِخدَامِ الاسمِ : “أَيِّ”) وَالَّذِي لَا ُيمكِنُهُ أَن يُكافِيءَ عَدداً بِعيَنِهِ وَيَنبَغِي عَلَيهِ أَن يُعَبِّرَ عَن كُلِّ الأعدَادِ وَإلَّا فَقَدنَا خَاصيَّةَ العُموم

بِالتَّالِي فَإنَّ “ج” تُصبِحُ مَجموعَةً لَانِهائيَّة وَلَا َيسمَحُ مَنطِقُ فريجة (مِنَ الدَّرَجَةِ الأولَى) بِإنشَاءِ تَعابيرَ لَا نِهائيَّة

11 Shares:
Leave a Reply

Your email address will not be published.