٣- القُصورُ عَن التَّعبيرِ عَن نِهائِيَّةِ النَّمَاذِجِ

إثبَاتَ النَّظريَّةِ التَّاليَةِ (المَنسوبَةِ فِي الأصلِ لِلرياضِيِّ النِرويجِيِّ سكولم) يُبَيِّنُ عَدَمَ وجودِ نَموذَجٍ مَعنَوِيٍّ لِلجُملَةِ “ج^” حَتَّى عَلَى فَرضِ – جَدَلِيٍّ – بِإمكَانِيَّةِ إنشَائِهَا وَيُظهِرُ أَهَميَّةَ خَاصيَّةِ الكثَافَة فِي اكتِشَافِ الحُدودِ التَّعبيريَّة

إِن وُجِد تَعبيرٍ مَنطِقِيٍّ ” ج^” مُختَصٌّ بأَنَّ لَهُ لِكُلِّ عَدَدٍ طَبيعِيِّ “ن” نَموذَجٌ يُحَقِّقُهُ والنَّموذَجُ بِهِ “ن” مِنَ الأشيَاءِ عَلَى الأَقَلِّ

(لِنُسَمِّ هَذَا النَموذَجَ : “م_ن“)

فَإنَّ 

 ج^ لَه نَموذَجٌ بِهِ عَدَدٌ لَانِهَائِيٌّ مِنَ الأشيَاءِ

(نَقولُ عَنهُ أَنَّهُ : نَموذَجٌ لَا نِهَائيٌ)

البُرهان:

لِنَضَعْ

   ت₁= ج^ ∪ ج

وَلتَكُنْ “ت_” أَيَّ مَجموعَةً نِهائيَّةً مِن ت₁

ت_ تَحتَوي عَلَى التَّعبيرِ” ج^” وَجُمَلٍ مُعَيَّنَةٍ مِن “ج” لَيسَت بِالضَّرورَةِ كُلَّ الجُمَلِ فِيهَا

لِتَكُنْ الجُملَةُ “ج_ك” مُعَبِّرَةً عَن وجودِ أَكبَرِعَدَدٍ طَبيعِيٍّ مِنَ الأشيَاءِ فِي نَموذَجِ ت_ مُقارَنَةً بِأيِّ جُملَةٍ “ج_س” أُخرَى فِي نَفسِ النَّموذَج

وجودُ “م_ك” يُحَقِّقُ

(^م_ك || ج)

ويَعنِي أيضاً

  م_ك || ج^ ∪ ج_ك

وَهذَا بِدَورِهِ يَعنِي تَحَقُّقَ كُلِّ الجُمَلِ “ج_س” مِن “ت_” عَلَى اعتِبَارِ أنَّ 

ج_ك –> ج_س) لِكُلِّ س<ك)

بِالتَّالِي

(_م_ك || ت)

وَهذَا مَعنَاهُ حَسبَ خَاصيَّةِ الكَثَافَةِ  أنَّ “ت₁” لَهَا نَموذَجٌ : م _ت1

بِمَا أنَّ “ت₁” تَحتَوي عَلى المَجموعَةِ “ج” لَا يُمكِنُ لَلنَّموذَجِ “م _ت1” أَن يَكونَ نِهائياً أَي أَن يَكونَ عَدَدُ الأشيَاءِ بِهِ “ش” مَثلاً لِأنَّهُ فِي هَذِهِ الحَالَةِ لَن يُحَقِّقَ الجُملَةَ “ج_ش+1” الَّتِي هِيَ جُزءُ مِن ج

“^م _ت1” هُوَ نَموذَجٌ لَانِهائِيٌ إذاً وَمُحَقِّقٌ لِلتَّعبيرِ الأَصلِيِّ ” ج”

(نِهايَةُ البُرهَان)

مَعَ بَسَاطَةِ البَراهينِ السَّابِقَةِ إلَّا أنَّهَا لَا تُظهِرُ فَقَطْ قُصوراً مَبدَئيّاً عَن التَّعبيرِ البُنيَوِيِّ السَّليمِ عَن خَاصيَّةِ “نِهائِيَّةِ النَّمَاذِجِ” وَإنَّمَا تَكشِفُ أيضاً عَجزاً جَوهريّاً عَن التَّمييزِ المَعنَويِّ بَينَ “نِهائيَّةِ” وَ”لَانِهَائيَّةِ” المَجموعَاتِ بِشَكلٍ عَام

 فَمِمَّا سَبَقَ يَتَّضِحُ لَنَا أَنَّهُ حَتَّى عَلَى فَرضِ وجودِ تَعبيرٍ “ج^” يُصَرِّحُ بِأَنَّ عَدَدَ الأشيَاءِ فِي النَّموذَجِ المَعنَويِّ “م_ت1” نِهَائِيٌ , لَا يُمكِنُ فِعليّاً  لِهَذَا النَّموذَجِ إلَّا أَن يَكونَ لَانِهائيّاً