يُظهِرُ البُرهانُ التَّالِي نَتيجَةً أَشَدَّ أَثَراً مِمَّا سَبَقَ : القُصورُ المَبدَئِيُّ عَن التَّمييزِ بَينَ المَجموعَاتِ القَابِلَةِ وَتِلكَ الغَيرِ قَابِلَةِ لِلعَدّ
نَتَذَكَّرُ مِنَ المَقَاطِعِ السَّابِقَةِ أنَّ كانتور أَثبَتَ – بِاستِخدَامِ طَريقَةِ القُطرِ – وجودَ فَرقٍ نَوعِيٍّ بَينَ المَجموعَاتِ اللَّانِهَائيَّةِ ثُمَّ اصطَلَحَ الرِّياضيينَ بَعدَ ذَلِكَ عَلَى إِعطَاءِ أيِّ مَجموعَةٍ لَانِهَائيَّةٍ رُتبَةً تُكَافِيءُ – رِيَاضِيّاً – المَجموعَةَ ذَاتَهَا
لِفَهمِ النَّظَريَّةِ التَّاليَةِ سَنُمَيِّزُ هُنَا أَوَّلاً – وَدُونَ الخَوضِ فِي تَفاصيلِ مَا يُسَمَّى “نَظَريَّةَ الرُّتَبِ” – بَينَ رُتبَتينِ فَقَط ,رُتبَةِ المَجموعَاتِ اللَّانِهائيَّةِ القَابِلَةِ لِلعَدِّ المُسمَاةِ :”ألف0” وَرُتبَةِ المَجموعَاتِ اللَّانهائيَّةِ الغَيرِ قَابِلَةٍ لِلعَدِّ المُسمَاةِ (بِاعتبَارِ صِحَّةِ فَرَضِيَّةِ الاستِمرَارِيَّةِ , أَي عَدَمِ وجودِ حَالَةٍ مُتَوَسِّطَةٍ بَينَ قَابِلِيَّةِ العَدِّ وَعَدَمِ قَابليَّةِ العَدِّ) : ألف1
ثُمَّ سَنَصطَلِحُ عَلَى تَسميَةِ أيِّ لُغَةٍ صُوريَّةٍ (مِنَ الدَّرَجَةِ الأُولَى) “غ” تَتَكَوَّنُ تَعَابيرُهَا مِن عَنَاصِرِ المَجموعَةِ
رموز
=
{…..,رمز1,رمز2}
لُغَةً قَابِلَةً لِلعَدِّ إذَا كَانَتْ رموز مَجموعَةً نِهائيَّةً أَو قَابلَةً لِلعَدّ
فَإن لَم تَكنْ كَذَلِكَ كَانَتْ “غ” لُغَةً غَيرَ قَابِلَةٍ لِلعَدّ
نُلاحِظُ أنَّ رُتبَةَ اللُّغَةِ مُستَقِلَّةٌ عَن رُتبَةِ النَّموذَجِ المَعنَوِيِّ فَنَحنُ نَقولُ عَن النَّموذَجِ المَعنَوِيِّ أنَّهُ نِهَائِيٌ, قَابِلٌ لِلعَدِّ أَو غَيرُ قَابِلٍ لِلعَدِّ بِالنَّظَرِ إلَى حَجمِ مَجموعَةِ الأشياءِ فِيهِ فَقَط
نَتَذَكَّرُ مِنَ المَقطَعِ عَن “الكَمَالِ المَعنَويِّ” أنَّ أيَّ نَموذَجٍ مُكَوَّنٌ مِن مَجموعَةِ أشيَاءِ العَالَمِ مَحَلِ الاهتِمَامِ وَمَجموعَةِ المَفَاهِيم)
بِإمكَانِنَا – مَثَلاً – إنشَاءُ نَماذِجَ مَعنويَّةٍ غَيرَ قَابِلَةٍ لِلعَدِّ بِاستِخدَامِ لُغاتٍ قَابِلَةٍ لِلعَدِّ كَمَا فَعَلَ كانتور (يَعتَمِدُ بُرهَانُهُ الَّذِي مَرَّ مَعَنَا فِي المَقَاطِعِ السَّابِقَةِ عَلَى فَرَضِيَّاتِ نَظَرِيَّةِ المَجموعَاتِ المُسمَّاةِ: فَرَضِيَّاتِ زيريمو-فرينكل وَهيَ مَجموعَةٌ نِهائِيَّةٌ مِن تَعَابيرِ الدَّرَجَةِ الأُولَى الَّتِي نَرمُزُ لَهَا هُنَا اختِصَاراً بِالرَّمزِ: ز-ف
نَظَريَّةُ سكولم و لوفنهايم
:(الطَّرَفُ الأعلَى)
لِتَكُن “ت” مَجموعَةً مِن تَعَابِيرِ اللُّغَةِ “غ” مِنَ الدَّرَجَةِ الأولَى وَالَّتِي تَحتَوِي عَلَى عَلَاَمةِ المُسَاوَاةِ التَّقليديَّةِ : إِذا كَانَ لَدَى “ت” نَموذَجٌ لَانِهَائيٌّ “م” فَإنَّ لَديهَا نَموذَجٌ لَانِهَائيٌّ “م_” مِن أَيِّ رُتبَة
البُرهان
لِنَقُلْ أنَّ “ت” لَديهَا نَموذَجٌ لَا نِهائيٌّ “م” وَلتَكُنْ “ر” أَيَّ رُتبَةٍ لِمَجموعَةٍ لَانِهَائيَّة
أَضِفْ إلَى اللُّغَةِ “غ” مَجموعَةً لَانِهَائيَّةً (رُتبَتُهَا “ر”) مِنَ الرُّموزِ الجَديدَةِ {رمز1,رمز2,..} الَّتِي سَنَجعَلُهَا ثَوابِتاً وَعَرِّفْ مَجموعَةَ التَّعابيرِ “ت_” كَالتَّالِي
_ث∪ ت = ت
حَيثُ
=ث
{عكس(ثرمز1=ثرمز2) : رمز1≠رمز2 , رمز1,رمز2 من ر}
أَي أنَّ “ث” مَجموعَةٌ لَانهائيَّةٌ مِن تَعَابيرِ التَّبايُنِ (عَكسِ المُساوَاةِ) الَّتِي تُظهِرُ تَفَرُّدَ رموزِ الثَّوابِتِ الجَديدَةِ وَعَدَمَ اشتِراكِهَا فِي المَعنَى
نُلاحِظُ أنَّ أَيَّ نَموذَجٍ “م_” مُفترَضٍ لِ”ت_” يَجِبُ أَن يَكونَ ذَا رُتبَةٍ : “ر” حَتَّى يُحَقِّقُ ث
فِيمَا يَلِي سَنَرَى – بِاستِخدَامِ خَاصيَّةِ الكَثَافَةِ – أنَّ هَذَا النَّموذَجَ لَهُ وجودٌ فِعلاً
_لِتَكُنْ “ج” أَيَّ مَجموعَةٍ جُزئيَّةٍ نِهَائيَّةٍ مِن ت
بِمَا أنَّ “ج” نِهائيَّةٌ فَإنَّهَا لَن تَتَضَمَّنَ إلَّا مَجموعَةً نِهائيَّةً مِن تَعابيرِ التَّبايُنِ مِن “ث”. بِالتَّالِي : فَإنَّ أَيَّ نَموذَجٍ يُحَقِّقُ “ج” لَيسَ عَلَيهِ سِوى أَن يُحَقِّقَ عَدَداً نِهائيّاً مِن تَعابيرِ التَّبايُنِ هَذِهِ فَقَط
عَلَيهِ أيضاً أَن يُحَقِّقَ أَيَّ جُزءٍ مَن تَعابيرِ”ت” مَوجودٍ فِي ج
وَبِمَا أنَّ “ت” لَدَيهَا نَموذَجٌ لَانِهائيٌّ “م” فِعلاً فَإنَّهُ يُمكِنُنَا استِخدَامَ المَجالِ اللَّانِهائِيِّ لِ”م” فِي إعطَاءِ مَعَانٍ لِلعَدَدِ النِّهائِيِّ مِنَ الثَّوابِتِ المَوجودِ فِي مُتَبَايِنَاتِ “ث” الَّتِي تَحتَوِي عَلَيهَا “ج” وَيُصبِحُ “م” نَموذَجاً لِ”ج” أَيضا
بِمَا أنَّ أَيَّ مَجموعَةٍ نِهائيَّةٍ “ج” لَهَا إذاً نَموذَجٌ فَإنَّ هَذَا يَعنِي – حَسبَ خَاصيَّةِ الكّثافَةِ – وجودَ نَموذَجٍ لِلمَجموعَةِ “ت_” رَأينَا مِن قَبلُ أَنَّهُ لَابُدَّ أَن يَكونَ ذَا رُتبَةٍ مُكَافِئةٍ لِ ر
(نِهايَةُ البُرهَان)
