بِإمكَانِنَا إذاً – دَائماً – صُنعَ نَموذَجٍ لَانِهائِيٍّ ذِي رُتبَةٍ “ألف1” لأيِّ مَجموعَةِ تَعابيرٍ (مِن مَنطِقِ الدَّرَجَةِ الأولَى) لَهَا نَموذَجٌ ذو رُتبَةٍ “ألف0” وَهوَ مَا يَعنِي قُدرَتَنَا المُستَمِرَّةَ عَلَى تَوسِعَةِ النَّماذِجِ المَعنَوِيَّةِ لِلأشيَاءِ القَابِلَةِ لِلعَدِّ لِتُصبِحَ نَمَاذِجَ لِأشيَاءَ غَيرِ قَابِلَةٍ لِلعَدّ
مَاذَا عَن العَكسِ ؟
هَل يُمكِنُنَا إيجَادَ نَموذَجٍ لَانِهَائِيٍ بِرُتبَةِ “ألف0” لِمَجموعَاتِ التَّعابيرِ ذَاتِ النَّمَاذِجِ مِن الُّرتبَةِ “ألف1” ؟
أَلَيسَ مَعنَى هَذَا أَن تَكونَ لَدينَا المَقدِرَةُ – مَثَلاً – عَلى اختِزَالِ المَجَالَاتِ اللَّانهائيَّةِ الغَيرِ قَابِلَةِ لَلعَدِّ إلَى مَجَالَاتٍ قَابِلَةٍ لِلعَدِّ (وَهوَ مَا يَنبَغِي أَن يَكونَ مُستَحيلاً حَسبَ بُرهانِ كانتور الرَّئيسِيّ) ؟
فَاجَأَ سكولم وَلوفنهايم المُجتَمَعَ العِلمِيَّ بِالنَّظَرِيَّةِ التَّاليَةِ المُكَمِّلَةِ لِمَا رَأينَاهُ لِلَّتوِّ وَالَّتِي تَرُدُّ عَلَى التَّساؤلِ الأَوَّلِ إيجابيّاً بِالفِعلِ
نَظَريَّةُ سكولم وَ لوفنهايم
(الطَّرَفُ الأدنى)
لِتَكُن “ت” مَجموعَةً مِن تَعَابِيرِ اللُّغَةِ “غ” مِنَ الدَّرَجَةِ الأولَى ذَاتِ الرُتبَةِ “ر” وَالَّتِي تَحتَوِي عَلَى عَلَاَمةِ المُسَاوَاةِ التَّقليديَّةِ
إِذا كَانَ لَدَى “ت” نَموذَجٌ “م” فَإنَّ لَديهَا نَموذَجٌ لَانِهَائيٌّ “م_” مِن أَيِّ رُتبَة في
{أكبر{ر, ألف0
تَكمُنُ المُفاجَأَةُ فِي أنَّنَا نَعلَمُ بِوَاسِطَةِ بُرهانِ كانتور (الَّذِي يَستَخدِمُ نَظَرِيَّةَ المَجموعَاتِ حَسبَ “ز-ف” ) أَنَّ مَجموعَةِ الأَعدادِ الحَقيقيَّةِ “ح” غَيرُ قَابِلَةٍ لِلعَدِّ
تَعنِي نَظَرِيَّةُ سكولم السَّابِقَةُ وجودَ نَموذَجٍ قَابِلٍ لِلعَدِّ لِ”ز-ف” لِأَّنهُ يُمكِنُنَا التَّعبيرَ عَنهَا بِلُغَةٍ ذَاتِ مَجموعَةِ رُموزٍ نِهائيَّةٍ مَعَ أَنَّهُ يَنبَغِي لِ”ز-ف” أَن يَكونَ نَموذَجُهَا مُحتَوياً عَلى “ح” أَي عَلَى مَجموعَةٍ وَاحِدَةٍ – عَلَى الأَقَلّ – غَيرِ قَابِلَةٍ لِلعَدِّ
كَيفَ أَمكَنَّا أَن نَصِلَ لِمِثلِ هَذِهِ النَّتيجَةِ (وَالمُسَمَّاةِ : “مُعضِلَةَ سكولم”) الظَّاهِرَةِ التَّنَاقُضِ مَعَ بُرهَانٍ ثَابِتٍ وَهَامِّ كَبُرهانِ كانتور ؟
