٧- شَرحُ مُعضِلَةِ سكولم و إثبَاتِ نَظَرِيَّةِ الكَمَالِ الأُولَى لجودل

يَتَذَكَّرُ القَارِيءُ أنَّنَا لَمْ نَتَطَرَّقْ إلَى شَرحِ طَريقَةِ إثبَاتِ نَظَرِيَّةِ الكَمَالِ الأُولَى لجودل (فِي مَقطَعِ “الكَمَالِ المَعنَوِيِّ” السَّابِقِ) وَاكتَفَينَا بِإيرادِهَا وَمُنَاقَشَةِ نَتَائِجِهَا فَقَط

سَنَقُومُ فِيمَا يَلِي بِشَرحٍ مُجمَلٍ لِفكرَةِ هَذَا الإثبَاتِ – بِطَريقَةٍ تُنسَبُ لِهنكن مِن سَنَةِ 1949 – لِأنَّهَا ضَروريَّةٌ لِفَهمِ حَدِّ سكولم الهَامِ الذَّي نَتَحَدَّثُ عَنهُ هُنَا

وَسَنَستَخدِمُ أَوَّلاً مَنطِقَ الدَّرَجَةِ 0 الخَالِي مِنَ الأسوَارِ وَمَجموعَاتِ

المُتَغَيِّرَاتِ لِلتَّبسيطِ والإيضَاحِ فَقَط

ProofTools background and technical addendum

شكل – 4

تَعتَمِدُ فِكرَةُ الإثبَاتِ عَلَى تَحويلِ أَيِّ مَجموعَةِ تَعابيرَ إبتدائيَّةٍ “ج0” مُنشَأَةٍ بِلُغَةٍ “غ” (مِنَ الدَّرَجَةِ الأُولَى) إلَى مَجموعَةٍ تَحتَوِي عَلى كُلِّ التَّعَابيرِ اللُّغَوِيَّةِ المُمكِنَةِ “ت” أَو نَقيضِهَا حَسبَ إمكَانِيَّةِ استِنتَاجِ “ت” مِن “ج0” فِي هَذِهِ اللُّغَة لِنُسَمِّها المَجموعَةَ الكَامِلَةَ: جالكاملة

لَكِن : كَيفَ يُمكِنُنَا مَعرِفَةَ إمكَانِيَّةِ إستِنتَاجِ “ت” مِن مَجموعَةِ تَعابيرَ “ج” (أَي مَعرِفَةَ صِدقِ : (ج | ت)) ؟

أَبسَطُ وَسيلَةٍ لِفِعلِ هَذَا – بِفَرضِ أَنَّ النِّظامَ المَنطِقِيَّ غَيرُ مُتَنَاقِضٍ – تَكمُنُ فِي إثبَاتِ عَدَمِ تَوَافُقِ “ج” مَعَ “عكس(ت)” , بِمَعنًى آخَرَ : إثبَاتِ عَدَمِ وجودِ نَموذَجٍ يُحَقِّقُ التَّعبيرَ

(ج & عكس(ت

يُوضِّحُ الشَّكلُ – 4 طَريقَةً مُباشِرَةً لِإيجَادِ نَموذَجٍ لِتَعبيرٍ مَا فِي مَنطِقِ الدَّرَجَةِ 0

 تَعتَمِدُ الطَّريقَةُ عَلَى إنشَاءِ شَجَرَةٍ مَنطقيَّةٍ تَحتَوي العُقَدُ فِيهَا عَلى سُطورَ يُمَثِّلُ كُلٌّ مِنهَا تَعبيراً مُرتبطاً مَعَ بَقيَّةِ التَّعَابيرِ بِعمليَّةِ الاقتِرَانِ: “&” وَتَتَفَرَّعُ العُقَدُ حِينَمَا يَكونُ الارتِبَاطُ بِالعَمَليَّةِ: “˅” وَتَعنِي: أو 

تَنتَهِي هَذِهِ الشَّجَرَةُ دَائماً بَالتَّعابيرِ المَنطقيَّةِ الأُحادِيَّةِ أَي تِلكَ الَّتِي لَا تَحتَوِي عَلى أجزاءَ بُنيويَّة وتُسمَّى التَّعابيرُ الَّتِي تَنتَهِي عِندَهَا الشَّجَرَةُ زُهوراً

فِي حَالَةِ وجودِ تَنَاقُضٍ فِي فَرعٍ مَنَ الفُروعِ يَتِمُّ وَضعُ عَلامَةٍ عَلى الزَّهرَةِ فِي آخرِه. فِي الشَّكلِ – 4 مَثَلاً يَحتَوي الفَرعُ الأَوَّلُ مِنَ اليَسارِ عَلَى عَلَامَةٍ تُبَيِّنُ تَنَاقُضاً فِي القِيمَةِ المَنطقيَّةِ الَّتِي يَنبَغِي إعطَاؤُهَا لِلتَّعبيرِ

“A”

نُسَمِّي الفَرعَ الَّذِي بِهِ عَلامَةٌ : “فَرعاً مُغلَقاً” أَمَّا بَقِيَّةُ الفروعِ فَهِيَ  فروعٌ مَفتوحَةٌ

لِإنشاءِ نَموذَجٍ مِن فَرعٍ مَفتوحٍ يَكفِي إعطاءُ زُهورِ الفَرعِ قِيمَةَ “صواب” وَإختيارِ أَيٍّ مِن قِيَمِ “صوابٍ” أو “خطأٍ” لِبَقِيَّةِ التَّعابيرِ المَنطقيَّةِ الأُحادِيَّةِ

يُمكِنُنَا – مَثَلاً – اختِيارَ الفَرعِ الثَّانِي مِنَ اليَسارِ فِي الشَّكلِ – 4 لِيَكونَ عِندَنَا نَموذَجٌ يَضَعُ

A=صواب, C=صواب

وَأَيَّ قِيَمٍ أُخرَى لِكُلٍّ مِن

B, D

فَإن تَمَّ إغلاقَ كُلِّ فُروعِ الشَّجَرَةِ المَنطِقِيَّةِ يَكونُ التَّعبيرُ الإجمَالِيُّ عِندهَا غَيرَ قَابِلٍ لِلتَّحقيقِ كَمَا فِي الشَّكلِ التَّالِي – 5

 

ProofTools background and technical addendum

يُمكِنُنَا إنشَاءَ الشَّجَرَةِ المَنطقيَّةِ لِتعابيرَ الدَّرجَةِ الأُولَى بِنَفسِ الطَّريقَةِ وَلَكِنْ مَعَ مُلَاحَظَةِ أنَّ هَذِهِ التَّعابيرَ قَد تَحتَوي عَلَى مُتَغَيِّراتٍ وَأسوارَ كُليَّةٍ أَو جُزئيَّةٍ تَحتَاجُ مِنَّا إلَى مُراعَاةِ الآتِي

1- يَنبَغِي عَلينَا تَحويلَ التَّعابيرِ إلَى الصُّورةِ الاقتِرانيَّةِ التَّاليَةِ وَالَّتِي تَضمَنُ (حَسبَ سكولم) نَجاحَ الشَّجرةِ المَنطقيَّةِ السَّابقَةِ فِي إيجادِ نَموذَجٍ مَنطقيٍّ

{{x1 ˅x2 ˅.. ˅ xi} & {{x3 ˅x5 ˅.. ˅ xj}….{…}}

 2- تَفتَرِضُ الصُّورَةُ الاقتِرانِيَّةُ أنَّ المُتغَيِّراتِ ذَاتِ أسوارٍ كُليَّةٍ وَيَتِمُّ بِالتَّالِي إلغَاءُ هَذِهِ الأسوارِ مِنَ التَّعابيرِ دُونَ فَقدٍ لِخَاصيَّةِ العُموم

3- أمَّا الأسوارُ الجُزئيَّةُ فَيَتِمُّ التَّعويضُ عَنهَا بِدوالٍ تُسَمَّى : “دَوالَ سكولم” كَالتَّالِي

يَتَحَوَّلُ التَّعبيرُ

((..,يوجد(س) لكل(ص) بحيث: د(…, س, …, ص ….))

إلَى

(…,لكل(ص): د(…, د_(ص), …, ص

وَيَكونُ مَفهوماً مِن هَذَا أنَّ دَالَّةَ سكولم المُضَافَةَ (“د_”) تَختَارُ قِيمَةً ثَابتَةً مِنَ المَجالِ المَعنَوِيِّ تَكونُ “شَاهِدَةً” عَلَى تَحَقُّقِ السُّورِ الجُزئِيِّ فِي المُعادَلَةِ

نَتَذَكَّرُ أنَّ الأسوارَ الجُزئيَّةَ فِي مَنطِقِ فريجة تَعنِي وجودَ عُنصُرٍ وَاحِدٍ عَلَى الأَقَلِّ يُحَقِّقُ التَّعبيرَ المَنطقِيّ

4- قَد تَحتَوي التَّعابيرُ المنطقيَّةُ الأُحاديَّةُ الَّتي نُكَوِّنُ بِهَا النَّمَاذِجَ كَمَا رَأينَا عَلَى دَوالٍ مِثلِ : د(ث12,…ثن) حَيثُ : ث12,…ثن مَجموعَةٌ مِنَ الثَّوابِتِ المنطقيَّة

تُسمَّى هَذِهِ التَّعابيرُ الخَاليَةُ مِنَ المُتغيراتِ: تَعابيرَ مُغلقَة

لِنُوَضِّحَ طَريقَةَ التَّحويلِ هَذِهِ بِمِثَال

لِيَكُنْ التَّعبيرُ التَّالِي

ت=كُلُّ مَن يُحِبُّ كُلَّ الحَيوانَاتِ يُوجَدُ لَدَيهِ حَيَوَانٌ يُبَادِلُهُ الحُبَّ

وَالَّذِي يُمكِنُنَا كِتَابَتَهُ فِي مَنطِقِ الدَّرجَةِ الأولَى كَالتَّالِي

= ت

:(لكل(س,ص

<– ((حيوان(ص) –> يحب (س,ص))

((يوجد(ص) : (يحب(ص,س))

بَعدَ تَطبيقِ طَريقَةِ سكولم فِي التَّحويلِ يُصبِحُ لَدينَا التَّعبيرَ

=_ت

{ (حيوان(د(س)) ˅ يحب(ذ(س),س) }

&

{(عكس(يحب(س,د(س))) ˅ يحب(ذ(س),س }

حَيثُ تُعطينَا دَالَّةُ سكولم “ذ(س)” الشَّخصَ (حَيوانٌ أو إنسانٌ) الَّذِي يُحِبُّ “س” وَ الدَالَّةُ “د(س)” الحَيوانَ الَّذِي لَا يُحِبُّهُ الشَّخصُ “س” وَيَكُونُ المَعنَى

(ت_=س لَا يُحِبُّ الحَيوانَ د(س) أَو س يُحِبُّهُ ذ(س

سَيُلاحِظُ القَارِيءُ أنَّ مَعنَى “ت” مُغايِرٌ لِمَعنَى “ت_” وَهَذَا صَحيحٌ بِالفِعلِ لِأنَّ طَريقَةَ سكولم لِلتَّحويلِ لَا تُحافِظُ إلَّا عَلَى خَاصيَّةِ التَّحَقُّقِ فَقَط أَي أنَّ

أَيَّ تَعبيرٍ “ت” مِنَ الدَّرجَةِ الأُولَى مُكافِئٌ مِن حَيثُ التَّحَقُّقِ فَقَط لِصورَتِهِ الاقتِرانيَّةِ “ت_” وَيَكونُ عِندَهَا

ت مُحقَّقٌ إذَا وَإذَا فَقَط كَانَ “ت_” مُحقَّقاً

فَنَحنُ لَا نَستَخدِمُ الصُّورَ الاقتِرانيَّةَ إذاً إلَّا لتَسهيلِ إنشَاءِ الشَّجَرِ المَنطقِيِّ

نَعودُ إلَى مَوضوعِ إثباتِ الكَمَالِ لِلُّغَةِ “غ” مِنَ الدَّرَجَةِ الأُولَى

يَقومُ الخَوارزمُ النَّظَرِيُّ التَّالِي بتحويل أَيِّ “ج0” إلى جالكاملة

خَوارِزم 3

لِتَكُنْ “م” مَجموعَةَ تَعابيرِ اللُّغَةِ “غ” ذَاتِ الرُّتبَةِ ر

“ج0” مَجموعَةً جُزئِيَّةً (يُمكِنُ أَن تَكونَ خَاليَةً) مِن “م”

1-ضَعْ ج=ج0

2- لكُلَّ عُنصُرٍ “ن” مِن المَجموعَةِ “م” , س>=0

 (أ- إذَا كَانَ : (جس | ن

(ضَعْ جس+1= ( ن∪ جس

وَإلَّا

(ضَعْ جس+1= ( عكس(ن)∪ جس

ب- ضَعْ ج=جس+1

3- جالكاملة

نِهَايَةُ خَوارِزم 3

نَستخَدمُ الشَّجرَ المَنطقيَّ المُنشَئِ لِتعابيرِ الدَّرجَةِ الأولَى (الَّتِي نُحَوِّلُهَا إلَى صُورَةِ سكولم الاقتِرَانيَّةِ كَمَا سَبَقَ) وَذَلِكَ لِحَسمِ

س | ن) – فِي الخَطوَةِ (2-أ)

 فَكرَةُ بُرهَانُ الكَمَالِ

نَقومُ فِي أَوَّلِ خَطوَةٍ مِنَ البُرهانِ بِإثباتِ أنَّ المَجموعةَ جس المُستخدمَةَ فِي الخَوارزمِ السَّابِقِ غَيرُ مُتَنَاقِضَة

يُمكِنُنَا فِعلَ هَذَا بِاستِخدَامِ الاستِقراءِ الرِّياضِيِّ الكَامِلِ (أُنظُر فَرَضيَّاتِ بيانو: الفَرَضِيَّةَ التَّاسعَةَ) وَذَلِكَ بِأَخذِ حَجمِ المَجموعَةِ (أَي : “س”) كَمُتَغَيِّرٍ للاستِقرَاء

بِمَا أنَّ المَجموعَةَ جس غَيرُ مُتناقِضَةٍ لِكُلِّ “س” فَإنَّ جالكاملة يَنبَغِي أَن تَكونَ غَيرَ مُتناقِضَةٍ أَيضاً لِأنَّهَا إن كَانَتْ مُتناقضَةً فَإنَّهُ يُوجَدُ تَعبيرٌ “ت” يُحَقِّقُ

((جالكاملة | ت) وَ (جالكاملة | عكس(ت))

بِالتَّالِي : يَكونُ هُناكَ مَجموعَتَانِ جُزئيَّتَانِ عَلى الأقَلِّ مِن جالكاملة تُحَقِّقَانِ – بِشَكلٍ مُنفَصِلٍ – كُلاً مِن : ت وَ عكس ت

هَاتَانِ المَجموعَتَانِ لَابُدَّ أنَّهُمَا تَنتَمِيَانِ إلَى جش وَ جص عَلَى التَّوالِي حَيثُ : ش,ص<= س

بِأخذِ ض=أكبر{ش, ص} يَكونُ هَذَا مَعنَاهُ وجودَ جض مُتَنَاقِضَةٍ حَيثُ ض<=س وَهوَ مَا يُناقِضُ فَرضَ أنَّ جس غَيرُ مُتناقِضَةٍ لِكُلِّ “س

بَقِيَ أَن نُبَيِّنَ أنَّ جالكاملة تَحتَوِي عَلَى كُلِّ التَّعَابيرِ أَو نَقيضِهَا مِنَ اللُّغَةِ “غ” فِعلا: لِنَأخُذَ أَيَّ تَعبيرٍ “ع” مِن غ

لَابُدَّ أنَّهُ مَرَّ مَعَنَا فِي إحدَى مَراحِلِ الخَوارِزمِ السَّابِقِ (المَرحَلَةِ : “م” مَثلا

هَذَا مَعنَاهُ أنَّ المَرحَلَةَ “م+1” (حَيثُ يَتِمُّ إنشاءُ المَجموعَةِ جم+1) لَابُدَّ أَن تَحتَوِي – لِأنَّهَا غَيرُ مُتَنَاقِضَة – عَلَى “ع” أَو نَقِيضِهِ لَا كِلَيهِمَا. وَهوَ المَطلوبُ إثبَاتُه

(نِهايَةُ البُرهَان)

تُمَثِّلُ الشَّجَرَةُ المَنطقِيَّةُ – كَمَا رَأينَا – طَريقَةً لإيجَادَ نَموذَجٍ مَعنَوِيٍّ لِأَيِّ مَجموعَةٍ مِنَ التَّعابيرِ مَعَ أنَّنَا لَا نَعتَمِدُ فِي إنشَائِهَا عَلَى مَجموعَاتِ الأشيَاءِ مَحَلِّ الدِّرَاسَةِ

فَكَيفَ نُحَوِّلُ أَيَّ نَموذَجٍ مَعنَوِيٍّ مُستَنبَطٍ مِنَ الشَّجَرَةِ إلَى نَموذَجٍ مَعنَوِيٍّ فِعلِيّ ؟

نَتَذَكَّرُ أنَّ النَّمَاذِجَ المَعنَوِيَّةَ فِي الشَّجَرَةِ هِيَ أَفرُعٌ قَد تَكونُ لَانِهَائِيَّةَ الطُّولِ لَكنَّهَا لَا تَحتَوِي إلَّا عَلَى تَعابيرِ اللُّغَةِ “غ” المُنشَأَةِ بِاستِخدَامِ المَجموعَةِ رموز

بَل إنَّهَا لَا تَحتَوي عَلَى كُلِّ التَّعَابيرِ وَإنَّمَا عَلَى التَّعَابيرِ المُغلَقَةِ فَقَط كَمَا رَأينَا وَالَّتِي قَد تَظهَرُ عَلَى شَاكِلَةِ

(د(ش12,..,د1_(شك),..,شن

حَيثُ : {ش12,..,شك..,شن} مِن رموز وَ”د1_()” هَيَ إحدَى دَوالِّ سكولم الَّتِي عَليهَا أَن تَختَارَ “شَاهِداً” مِن مَجموعَةِ الأشيَاءِ مَحَلِّ الدِّرَاسَةِ فِي النَّموذَج

فَإن كَانَت “غ” قَابِلَةً لِلعَدِّ فَإنَّ هَذَا مَعنَاهُ – بِالتَّعريفِ – أنَّ رموز قَابِلَةٌ لِلعَدِّ أيضاً أَي ذَاتِ رُتبَةٍ : ألف0

وَبِوَضعِ ثَابِتٍ جَديدٍ (“ثن“) لِكُلِّ دَالَّةٍ مِن دَوالِّ سكولم (دن_()) يُصبِحُ تَعبيرٌ مُغلَقٌ كَالسَّابِقِ مَثَلاً ذُو شَكلٍ كَالتَّالِي

د(ش12,..,ث1,..,شن) حَيثُ : د1_(شك)=ث1

وَهوَ مَا يَعنِي أَنَّنَا أَضَفنَا لِلمَجموعَةِ رموز مَجموعَةً لَاِنهائِيَّةً قَابِلَةً لِلعَدِّ مِنَ الثَّوابِتِ الجَديدَةِ لِيُصبِحَ لَدَينَا لُغَةٌ جَديدَةٌ “غ_” أَسَاسُ تَعَابيرِهَا مِن

رموز_= رموز + ثوابت_سكولم

اللُّغَةُ “غ_” قَابِلَةٌ لِلعَدِّ أيضاً حَسبَ نَظَرِيَّةِ الرُّتَبِ وَ”فَرَضِيَّةِ الاختِيَارِ” الَّتِي تَسمَحُ بِوجودِ دَوالِّ سكولم لِكَونِ

ألف0+ألف0=أكبر{ألف0,ألف0}=ألف0

نَستَطيعُ الآنَ إنشَاءَ نَموذَجٍ ذِي مَجموعَةِ أشياءَ قَابِلَةٍ لِلعَدِّ مِن أيِّ فَرعٍ مَفتوحٍ فِي الشَّجَرَةِ وَذَلِكَ بِاستِخدَامِ التَّعابيرِ المُغلَقَةِ مِن “غ_” وَبِمُساعَدَةِ دَالَّةِ التَّقَابُلِ (“د^”) التَّالِيَةِ

(_ش1=د^(ت1غ

(_ش2=د^(ت2غ

(_ش3=د^(ت3غ

حَيثُ

{….2ش={ش1

هِيَ مَجموعَةِ أشياءِ العَالَمِ مَحَلِّ الدِّراسَةِ الَّتِي سَيَحتَويهَا نَموذَجُنَا بَينَمَا

{…تغ_={ ت1غ_, ت2غ

_مَجموعَةُ التَّعَابيرِ المُغلَقَةِ فِي اللُّغَةِ غ

مَاذَا يَحدُثُ حِينَ يَكونُ نَموذَجُنَا مُحتَوِياً عَلَى أشياءَ تُمَثِّلُ فِي ذَاتِهَا مَجموعَاتٍ وَتَكونُ رُتبَةُ هَذِهِ المَجموعَاتِ غَيرَ قَابِلَةٍ لِلعَدِّ (كَمَا فِي حَالَةِ النَموذَجِ المُحتَوِي الأَعدَادَ الحَقيقيَّةَ والَّذِي نَستَطيعُ استِنبَاطَهُ مِن شَجَرَةٍ تُمَثِّلُ فَرَضيَّاتِ “ز-ف” ) ؟

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Shares:
Leave a Reply

Your email address will not be published.