٨- برهَانُ نَظَريَّةُ سكولم وَ لوفنهايم (الطَّرَفُ الأدنى)

لِلوَهلَةِ الأُولَى لَيسَ هُناكَ تَنَاقُضٌ بَينَ وجودِ نَماذِجَ مَعنَويَّةٍ لِتَعَابيرَ تَتَنَاوَلُ صِفَاتِ المَجموعَاتِ وَبَينَ كَونِ هَذِهِ المَجموعَاتِ ذَاتِ رُتَبٍ عَاليَة

إلَّا أنَّ فَرَضِيَّاتِ  “ز-ف” تَسمَحُ أيضاً بِاستِخدَامِ عَنَاصِرِ المَجموعَاتِ فِي التَّعابيرِ مِمَّا يَسمَحُ بِإنشَاءِ جُمَلٍ مِثلِ

“العُنصرُ ب يَنتَمِي إلَى مَجموعَةِ الأعدادِ الحَقيقيَّة ح”

وَهوَ مَا يَطرَحُ التَّسَاؤلَ التَّالِي : كَيفَ يُمكِنُنَا التَّعبيرَ عَن انتِمَاءِ كُلِّ الأَعدادِ الحَقيقيَّةِ لِ”ح” إذا كَانَتْ رُتبَةُ هَذِهِ الأخيرَةِ “ألف₁” بَينَمَا رُتبَةُ مَجموعَةِ التَّعابيرِ الَّتِي يَنبَغِي أَن تُكَافِأَهَا “ألف₀” فَقَط ؟

الجَوابُ هوَ أنَّنَا لَا نَستطيعُ إلَّا إذَا استَخدَمنَا لُغاتٍ ذَاتِ مَجموعَاتِ رُموزٍ غَيرِ قَابِلَةٍ لِلعَدّ. وَمَعَ أنَّ هَذَا مُمكِنٌ طَبعاً فَإنَّ فَرَضيَّاتِ “ز-ف” تَبقَى قَابِلَةً لِلصِّيَاغَةِ بِلُغَاتٍ مِثلِ “غ_” الَّتِي رَأينَا فِي المَقطَعِ السَّابِقِ وَتَبقَى إمكَانِيَّةُ إنشاءِ نَموذَجٍ قَابِلٍ لِلعَدِّ يُعَبِّرُ عَن مَجموعَاتٍ غَيرِ قَابِلَةٍ لِلعَدِّ (بِاستخدامِ التَّعابيرِ المُغلَقَةِ فِي الشَّجَرِ المَنطِقِيِّ) قَائمَةً بِالتَّالِي

(هَذَا هوَ مُحتَوَى نَظَريَّةِ سكولم وَلوفنهايم (الطَّرَفِ الأَدنَى

مِنَ النَّاحِيَةِ الرِّيَاضِيَّةِ تَعنِي النَّظَرِيَّةُ أنَّ تعابير “غ_” وَمَعَ أنَّهَا تُسَجِّلُ خَوَاصَ “ح” بِشَكلٍ مَنطِقِيٍّ صَحيحٍ فَإنَّهَا تَعجَزُ عَن احتِوَاءِ كَثيرٍ مِنَ الأعدَادِ الحَقيقيَّةِ فِعلاً وَهوَ مَا يَجعَلُ مِن أُطروحَةِ سكولم مُعضِلَةً فَلسفِيَّةً نَتَنَاوَلُ حُلولَها المُختَلِفَةَ فِي المَقطَعِ الخَاصِّ بِالنَتَائِجِ المَعرفيَّةِ مِمَّا يَلِي